ROR体育_ROR体育在线登录【官方独家推荐】

♠《ROR体育》全球首家一体化移动娱乐客户端官方下载,海量体育竞猜、真人娱乐厅、彩票投注电子游艺等最新娱乐项目掌中体验!

ROR体育_ROR体育在线登录【官方独家推荐】

椭圆形台球桌 路径(弦)切出另一个椭圆

① 先讲一个后面要用到的性质:已知椭圆及其两个焦点,从椭圆外一点向椭圆作两条切线,则任一焦点到两个切点的张角,被此焦点与椭圆外这点的连线所平分。请观看下面动画演示,可以随时按暂停,观察角度值。

①₁先作出两条切线,从而得到两个切点。作法:以一个焦点为圆心(下图中F₁),以2a(即椭圆上一点到两个焦点的距离之和)为半径作辅助圆。以椭圆外这个点(下图中的点P)为圆心,以这个点到另一焦点的距离(下图中的PF₂)为半径作圆,将与辅助圆交于两点(肯定交得出两点,为什么?请您自己思考)(下图中的A和B)。分别连接这两个交点与第二个焦点得两条线段(下图中的AF₂和BF₂)。分别作这两条线段的中垂线。则这两条中垂线就是过椭圆外这个点的两条切线。分别连接这两个交点(A和B)与第一个焦点(F₁),将与两条切线交于两点(Q₁和Q₂),这两个新的交点Q₁和Q₂就是两个切点。

①₂证明第一个焦点与两个切点连线的张角被平分。连接椭圆外这个点P与第一个焦点F₁。显然如上图所示,△AF₁P与△BF₁P全等(边边边)。所以,F₁P平分∠AF₁B,即平分∠Q₂F₁Q₁。

①₃证明第二个焦点与两个切点连线的张角被平分。去除上图中的阴影。如下图所示,给另外两个三角形△BQ₂P和△F₂Q₂P涂以不同颜色。这两个三角形对应边分别相等,所以,它们全等,所以有∠4=∠2;由上一图阴影三角形全等知∠B=∠A,即下图中的∠2=∠1;再由对称性知∠1=∠3。所以,由角相等的传递性,就有∠4=∠3。这就说明F₂P平分∠Q₂F₂Q₁。性质1证毕。▍

② 设有水平放置的平整的椭圆形台球桌。击球后球的路径第1段是一条不从两个焦点之间穿过的弦。如下图AB所示。

③作一个焦点仍为F₁和F₂的椭圆,但要与AB相切。这很简单:找到点F₁关于AB的对称点F₁。连接F₁F₂。则F₁F₂与AB的交点P₁就是与AB相切的椭圆的切点。如下图所示。

④作椭圆。然后,如上图所示,以焦点F₂为圆心,以F₁F₂为半径作辅助圆。在圆上取一动点S,作F₁S的中垂线,与F₂S交于点Q。则随着点S在圆上运动,交点Q就将描绘出一个椭圆,这个椭圆就是我们所要求作的焦点为F₁和F₂,且与AB相切的唯一椭圆。也可以说,这个椭圆是F₁S的中垂线的包络。或者说,这个椭圆是中垂线扫过区域的边界。但这个椭圆的内部是中垂线没有扫过的唯一区域。

⑤ 球沿着新作椭圆切线AB运动到点B后,要往什么方向弹射(反射)呢?我们的结论是,它将沿着过点B且与新作椭圆相切的直线的方向运动。或者说,经过点B有两条新椭圆的切线,球的运动路径一定是走完一条切线必定走另一条切线。我们下面来证明。

⑥证明。过点B作新椭圆的切线BC,切点为P₂。原椭圆(以下简称外椭圆)与新椭圆(以下简称内椭圆)有完全相同的两个焦点。作外椭圆点B处的法线BV和切线。从F₁发出的光照射到点B后,一定反射后射向焦点F₂,即∠F₁BV=∠F₂BV(图中以∠1表示)。

再根据开始时所讲的性质,图中标以“2”的两个角相等,标以“3”的两个角也相等。另外,两个角“6”相等,两个角“7”相等。有了这些相等的角,我们来证明∠4=∠5,从而入射线AB与反射线BC关于法线BV就对称了。从而球从A运动到B后反射就必定沿着BC。

⑧球继续行进的路径,是一条条与内椭圆相切的外椭圆的弦。理论上,若不考虑任何能量损失,并把球当成质点,那么球可以永远运动下去。只要一圈后不回到出发点,那么这些外椭圆的弦就一定包络出内椭圆。也就是说,外椭圆路径弦都是内椭圆的切线。或者形象地说,球一旦被击出,它将永远擦着一个确定的椭圆行进。

Leave a reply

您的电子邮箱地址不会被公开。